Question

16．橢圓$\frac{x^2}{5}$+$\frac{{3{y^2}}}{5}$=1與過點C（-1，0）且斜率為k的直線交于A、B兩點．
（1）若線段AB的中點為（-$\frac{1}{2}$，n），求k的值；
（2）在x軸上是否存在一個定點M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值為常數(shù)，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關系即可求解；本題也可用點差法求解．
（2）對于存在性問題，先假設存在，再進行推到，若能推出一正確結(jié)論，則存在，否則就不存在；由題意，建立關系式，利用多項式恒成立問題的求解方法即可求解．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB為y=k（x+1）與$\frac{x^2}{5}+\frac{{3{y^2}}}{5}=1$，
聯(lián)立得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0，△=4（12k²+5）＞0，
則有${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}$，
∴$-\frac{1}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，
解之得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）假設在x軸上存在一個定點M（x₀，0）滿足題意，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=λ$，λ常數(shù)，
∵$\overrightarrow{MA}=（{x}_{1}-{x}_{0}，{y}_{1}），\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}-{x}_{0}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{{x}_{0}}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}-{x}_{0}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{{x}_{0}}^{2}$+k²
=$\frac{{（{3x_0^2+6{x_0}-1}）{k^2}+x_0^2-5}}{{3{k^2}+1}}=λ$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3x_0^2+6{x_0}-1=3λ}\\{x_0^2-5=λ}\end{array}}\right.$，即$3x_0^2+6{x_0}-1=3x_0^2-15$，解之得${x_0}=-\frac{7}{3}$，
∴存在$M（{-\frac{7}{3}，0}）$，滿足題意．

點評 本題考查橢圓與直線的位置關系問題．真確理解與運用設而不求的思想方法是解題關鍵．本題對運算能力的要求較高，屬于中等難度題．