已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx-1（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若|x|≤
π
4
，求函數(shù)f（x）的值域．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）首先把函數(shù)f（x）變換成：f（x）=2sin(2x+
π
6
)，利用公式求出函數(shù)的最小正周期，利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先由|x|≤
π
4
，進一步確定-
π
3
≤2x+
π
6
≤
2π
3
，最后確定函數(shù)的值域．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx-1=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)，
則：T=
2π
2
=π，
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
 （k∈Z），
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=2sin(2x+
π
6
)
由于|x|≤
π
4

進一步求出：-
π
3
≤2x+
π
6
≤
2π
3

所以-
3
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
-
3
≤f(x)≤2
故答案為：（1）T=π  函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
（2）-
3
≤f(x)≤2
點評：本題考查的知識點：三角函數(shù)式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的求法，根據(jù)函數(shù)的定義域確定函數(shù)的值域．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下圖，有一個是函數(shù)f（x）=
1
3
x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R，a≠0）
1
3
x3+ax2+（a2-1）2+1（a∈R，a≠0）的導函數(shù)f′（x）的圖象，則f（-1）等于（　�。�
A、
1
3
B、-
1
3
C、
7
3
D、-
1
3
或
5
3

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已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期為π，且對一切x∈R，都有f(x)≤f(
π
12
)=4．（1）求函數(shù)f（x）的表達式； 
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知f（A）=2
3
，b=1，△ABC的面積為
3
4
，求
b+c
sinB+sinC
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程sinx=
x
20
有
 
個實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

知f（x）是實數(shù)集上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（-2），f（-π），f（3）的大小關(guān)系是（　　）
A、f（-π）＞f（-2）＞f（3）
B、f（3）＞f（-π）＞f（-2）
C、f（-2）＞f（3）＞f（-π）
D、f（-π）＞f（3）＞f（-2）

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設(shè)集合A={x|a-1≤x≤a+1}，集合B={x|-1≤x≤5}．
（1）若a=5，求A∩B；  
（2）若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍．

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若P（2，2）為圓（x-1）2+y2=25的弦AB的中點，則直線AB的方程為
 
．

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試討論函數(shù)f（x）=
ax
x-1
（a≠0）在（-1，1）上的單調(diào)性．

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已知函數(shù)f（x）=x|x|-2x的單調(diào)增區(qū)間為
 
．

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