Question

已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：先畫出圖形，連接ON，設(shè)∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，則|

a

|=|

b

|=|

c

|，分別表示出

OG

和

BC

，通過計(jì)算

OG

•

BC

=0，從而證明OG⊥BC．

解答： 證明：如圖示：
連接ON，設(shè)∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，
則|

a

|=|

b

|=|

c

|，
又

OG

=

1

2

（

OM

+

ON

）
=

1

2

[

1

2

OA

+

1

2

（

OB

+

OC

）]
=

1

4

（

a

+

b

+

c

），

BC

=

c

-

b

，
∴

OG

•

BC

=

1

4

（（

a

+

b

+

c

）•（

c

-

b

）
=

1

4

（|

a

|2cosθ-|

a

|2cosθ+|

a

|2-|

a

|2）
=0，
∴OG⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中直線和直線的位置關(guān)系，考查了向量的應(yīng)用，是一道中檔題．