【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)

（I）求證：平面；

（II）求二面角的正弦值；

（III）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)。

【答案】（I）見(jiàn)解析（II）（III）

【解析】

（I）建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)與面的法向量垂直可證得結(jié)果；（II）分別求解出平面和平面的法向量，求解出法向量成角的余弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得所求正弦值；（III）假設(shè)，則與平面法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值即為直線和平面所成角的正弦值，從而構(gòu)造方程求得，繼而求得.

（I）以為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，

，，，

平面的法向量

又，

，面 面

（II）設(shè)面的法向量，且，

，令，則，

設(shè)面的法向量，且，

，令，則，

即二面角的正弦值是

（III）設(shè)，則

又面的法向量

，解得：或（舍）

，即

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一項(xiàng)針對(duì)都市熟男（三線以上城市，歲男性）消費(fèi)水平的調(diào)查顯示，對(duì)于最近一年內(nèi)是否購(gòu)買(mǎi)過(guò)以下七類(lèi)高價(jià)商品，全體被調(diào)查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被調(diào)查者，1980年以前出生（80前）被調(diào)查者回答“是”的比例分別如下：

全體被調(diào)查者

80后被調(diào)查者

80前被調(diào)查者

電子產(chǎn)品

56.9%

66.0%

48.5%

服裝

23.0%

24.9%

21.2%

手表

14.3%

19.4%

9.7%

運(yùn)動(dòng)、戶(hù)外用品

10.4%

11.1%

9.7%

珠寶首飾

8.6%

10.8%

6.5%

箱包

8.1%

11.3%

5.1%

個(gè)護(hù)與化妝品

6.6%

6.0%

7.2%

以上皆無(wú)

25.3%

17.9%

32.1%

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷，以下分析錯(cuò)誤的是（ ）

A. 都市熟男購(gòu)買(mǎi)比例最高的高價(jià)商品是電子產(chǎn)品

B. 從整體上看，80后購(gòu)買(mǎi)高價(jià)商品的意愿高于80前

C. 80前超過(guò)3成一年內(nèi)從未購(gòu)買(mǎi)過(guò)表格中七類(lèi)高價(jià)商品

D. 被調(diào)查的都市熟男中80后人數(shù)與80前人數(shù)的比例大約為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓和，其中，為正常數(shù)，滿(mǎn)足或，一個(gè)動(dòng)圓與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（ ）

A.兩個(gè)橢圓B.兩個(gè)雙曲線

C.一個(gè)雙曲線和一條直線D.一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】解關(guān)于的不等式.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.三角形的兩條邊，所在直線的斜率之積是.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線方程為，直線方程為，直線交于，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（I）若為上的一點(diǎn)，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上，若P為動(dòng)點(diǎn)，Q為動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案