Question

16．△ABC是底邊邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，P是以直角頂點(diǎn)C為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，若m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，則n-m的最小值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），再代入計(jì)算即可．

解答 解：以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），
∵△ABC是底邊邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
∴A（2，0），B（0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（cosθ-2，sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-cosθ，2-sinθ），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=cos²θ-2cosθ+2sinθ-sin²θ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1，
∵-1≤sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-2$\sqrt{2}$+1≤2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1≤2$\sqrt{2}$+1，
∵m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，
∴m=1-2$\sqrt{2}$，n=1+2$\sqrt{2}$，
∴n-m=4$\sqrt{2}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵在建立坐標(biāo)系，然后用三角代換表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣使得問題容易表達(dá)并易于求解，屬中檔題．