Question

4．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f′（x）＜f（x），f（0）=1，則不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1的解集為（　　）

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞減
∵$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1
∴g（x）＜1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性是解題的關鍵．