Question

8．設(shè)橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上一點(diǎn)A到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為$M（{-1，\frac{1}{2}}）$，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）判斷中點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用作差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可得直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得直線的方程．

解答 解：（1）由點(diǎn)A到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4，
由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得c=$\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）中點(diǎn)M代入橢圓方程，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$＜1，
即M在橢圓內(nèi)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
兩式相減可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=-2，y₁+y₂=1，
可得直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{-2}{2}$=1，
即有直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=x+1，
即為2x-2y+3=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和離心率公式，考查中點(diǎn)弦方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．