分析 (I)橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,$P(\sqrt{2},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$在橢圓C上.可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1,a2=b2+c2,聯(lián)立解得即可得出.
(II))(i)證明:當(dāng)l⊥x軸時(shí),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1,由kOM•kON=-$\frac{b^2}{a^2}$,可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}×\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$,聯(lián)立解得即可得出.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,△>0,可得1+4k2>m2.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|=$\sqrt{(1+{k}^{2})[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$.由kOM•kON=-$\frac{b^2}{a^2}$,可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$,化為4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得:2m2=1+4k2.把m2=$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$代入|MN|,可得|MN|=$\frac{2\sqrt{2(1+{k}^{2})}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$,原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.即可得出.S△MON=$\frac{1}{2}$|MN|d=1為定值.
(ii)當(dāng)l⊥x軸時(shí),由(i)可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=${x}_{0}^{2}-{y}_{0}^{2}$.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=$\frac{5{m}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$.把m2=$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$代入$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$,化簡整理即可得出.
解答 解:(I)∵橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,$P(\sqrt{2},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$在橢圓C上.∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$=1,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(II)(i)證明:當(dāng)l⊥x軸時(shí),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1,由kOM•kON=-$\frac{b^2}{a^2}$,可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}×\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$,聯(lián)立解得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}}\\{{y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{2}}\\{{y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$,∴S△MON=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,化為:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
△>0,可得1+4k2>m2.
∴x1+x2=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$,
則|MN|=$\sqrt{(1+{k}^{2})[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{(1+{k}^{2})[\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{(1+4{k}^{2})^{2}}-\frac{4(4{m}^{2}-4)}{1+4{k}^{2}}]}$=$\frac{4\sqrt{(1+{k}^{2})(1+4{k}^{2}-{m}^{2})}}{1+4{k}^{2}}$.
由kOM•kON=-$\frac{b^2}{a^2}$,可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$,化為4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=0,即(1+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0,
∴$\frac{(1+4{k}^{2})(4{m}^{2}-4)}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4m2=0,化為:2m2=1+4k2.
把m2=$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$代入|MN|,可得|MN|=$\frac{2\sqrt{2(1+{k}^{2})}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$,
原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.
∴S△MON=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$×|m|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}×\frac{\sqrt{1+4{k}^{2}}}{\sqrt{2}}$=1.
綜上可得S△MON=1為定值.
(ii)當(dāng)l⊥x軸時(shí),由(i)可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=${x}_{0}^{2}-{y}_{0}^{2}$=$\frac{3}{2}$.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2
=$\frac{(1+{k}^{2})(4{m}^{2}-4)}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{m}^{2}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m2=$\frac{5{m}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$.
把m2=$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$代入可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{12{k}^{2}-3}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{1+4{k}^{2}}$.
由△>0,可得1+4k2>$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$恒成立,∴k∈R.∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$∈$[-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.
綜上可得:$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$∈$[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}]$.
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值為$-\frac{3}{2}$,最大值為$\frac{3}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $f(x)=x-\frac{1}{x}$ | B. | f(x)=ex-1 | C. | $f(x)=x+\frac{4}{x}$ | D. | f(x)=tanx |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ | B. | $\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1 | C. | x2+y2=1 | D. | $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{2}=1$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | 2 | C. | -2 | D. | 1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{3}$π+4 | B. | 2π+4 | C. | π+4 | D. | π+2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 2 | B. | 1 | C. | -1 | D. | -2 |
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