Question

18．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\frac{lnx+k}{e{\;}^{x}}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線與x軸平行，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值及當x＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=（x²+x）•f′（x）對于任意x＞0，．證明g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f′（1）=0求得k值，把k值代入原函數(shù)，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對函數(shù)定義域分段，由導函數(shù)在個區(qū)間段內(nèi)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把f′（x）代入g（x）=（x²+x）•f′（x），得到$g（x）=\frac{1+x}{{e}^{x}}•（1-xlnx-x）$，分別構造函數(shù)h（x）=1-xlnx-x（x＞0）和t（x）=$\frac{1+x}{{e}^{x}}$（x＞0），由導函數(shù)證明h（x）＜1+e^-2，t（x）＜1后得答案．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=$\frac{lnx+k}{e{\;}^{x}}$，得${f}^{′}（x）=\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-（lnx+k）•{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{\frac{1}{x}-lnx-k}{{e}^{x}}$，
∴${f}^{′}（1）=\frac{1-k}{{e}^{k}}=0$，即k=1．
${f}^{′}（x）=\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$（x＞0），
∵g（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$為減函數(shù)，且g（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，g（x）＞0，f′（x）＞0．
當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）證明：g（x）=（x²+x）•f′（x）=$\frac{1+x}{{e}^{x}}•（1-xlnx-x）$．
記h（x）=1-xlnx-x（x＞0），
h′（x）=-lnx-2，令h′（x）=0，得x=e^-2，
當x∈（0，e^-2）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當x∈（e^-2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴$h（x）_{max}=h（{e}^{-2}）=1+{e}^{-2}$，
∴1-xlnx-x≤1+e^-2．
令t（x）=$\frac{1+x}{{e}^{x}}$（x＞0），${t}^{′}（x）=-\frac{x}{{e}^{x}}＜0$，
∴t（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴t（x）＜t（0）=1．
∴$g（x）=\frac{1+x}{{e}^{x}}•（1-xlnx-1）＜$1+e^-2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值及曲線上某點處的切線方程，解題的關鍵是靈活利用導數(shù)工具進行運算及理解導數(shù)與要解決問題的聯(lián)系，此類題運算量大，易出錯，且考查了轉(zhuǎn)化的思想，判斷推理的能力，綜合性強，是高考�？碱}型，學習時要嚴謹認真，注意總結(jié)其解題規(guī)律，屬壓軸題．