Question

14．已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（Ⅰ） 記函數(shù)g（x）=10^f（x）+3x，求函數(shù)g（x）的值域；
（Ⅱ） 若不等式f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．求出定義域，根據(jù)指數(shù)的運算化簡g（x）即可求g（x）的值域
（Ⅱ） 不等式f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，只需f（x）_max＞m²-3m-18+lg4即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²）．
定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，
可得：-2＜x＜2．
函數(shù)g（x）=10^f（x）+3x=-x²+3x+4，
對稱軸為$x=\frac{3}{2}$，開口向下，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得g（x）的值域為$（-6，\frac{25}{4}]$．
（2）∵f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，
∴m²-3m-18+lg4＜f（x）_max，
令t=4-x²，t∈（0，4]，（-2＜x＜2）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知：f（x）_max=lg4，
∴m²-3m-18+lg4＜lg4．
∴m²-3m-18＜0，
解得-3＜m＜6．
∴實數(shù)m的取值范圍為（-3，6）．

點評 本題考查了對數(shù)的運算和化簡能力，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，值域的求法，轉(zhuǎn)化思想求解最值問題．屬于中檔題．