2.橢圓ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)與直線y=1-2x交于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,則$\frac{a}$的值為$\sqrt{3}$.

分析 設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A,B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和,則A,B中點(diǎn)坐標(biāo)可求,由斜率公式列式可得$\frac{a}$的值.

解答 解:設(shè):點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
把y=1-2x代入橢圓ax2+by2=1得:(a+4b)x2-4bx+b-1=0,
△=(-4b)2-4(a+4b)(b-1)=4a+16b-4ab①.
x1+x2=$\frac{4b}{a+4b}$,x1x2=$\frac{b-1}{a+4b}$.
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2b}{a+4b}$,
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1-2{x}_{1}+1-2{x}_{2}}{2}$=$\frac{2-2({x}_{1}+{x}_{2})}{2}$=1-(x1+x2)=1-$\frac{4b}{a+4b}$=$\frac{a}{a+4b}$.
設(shè)M是線段AB的中點(diǎn),∴M($\frac{2b}{a+4b}$,$\frac{a}{a+4b}$).
∴直線OM的斜率為$\frac{\frac{a}{a+4b}}{\frac{2b}{a+4b}}$=$\frac{a}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$.代入①滿足△>0(a>0,b>0).
故答案為:$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,訓(xùn)練了斜率公式的應(yīng)用,是中檔題.

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