Question

14．F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，若△F₁BF₂是一個(gè)底角為30°的等腰三角形，則該雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)虛軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，b），△F₁BF₂是一個(gè)底角為30°的等腰三角形，得到c=$\sqrt{3}$b，再用平方關(guān)系化簡(jiǎn)得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，根據(jù)離心率計(jì)算公式即可得到該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∵可得虛軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（-c，0），
∴由△F₁BF₂是一個(gè)底角為30°的等腰三角形，得c=$\sqrt{3}$b，
平方得c²=3b²=3（c²-a²），可得3a²=2c²，
∴c=$\sqrt{\frac{3}{2}}$a，得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出△F₁BF₂是一個(gè)底角為30°的等腰三角形，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．