某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質:打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標,如圖.
(Ⅰ)拖動點,發(fā)現(xiàn)當時,,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設拋物線的頂點為,焦點為,構造直線交拋物線于不同兩點、,構造直線、分別交準線于、兩點,構造直線、.經觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結論.
(Ⅲ)為進一步研究該拋物線的性質,某同學進行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“與不再平行”.是否可以適當更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應的正確命題;否則,說明理由.
(Ⅰ)
(Ⅱ)設出直線方程,點的坐標,聯(lián)立方程組證明,所以
(Ⅲ)設拋物線的頂點為,定點,過點的直線與拋物線相交于、兩點,直線、分別交直線于、兩點,則
解析試題分析:解法一:(Ⅰ)把,代入,得, 2分
所以, 3分
因此,拋物線的方程. 4分
(Ⅱ)因為拋物線的焦點為,設,
依題意可設直線,
由得,則 ① 6分
又因為,,所以,,
所以,, 7分
又因為 8分
, ②
把①代入②,得, 10分
即,
所以,
又因為、、、四點不共線,所以. 11分
(Ⅲ)設拋物線的頂點為,定點,過點的直線與拋物線相交于、兩點,直線、分別交直線于、兩點,則 . 14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因為拋物線的焦點為,設, &n
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:()過點,其左、右焦點分別為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是直線上的兩個動點,且,則以為直徑的圓是否過定點?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知直線過定點,動點滿足,動點的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)直線與交于兩點,以為切點分別作的切線,兩切線交于點.
①求證:;②若直線與交于兩點,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率且點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)記O為坐標原點,過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設拋物線()的準線與軸交于,焦點為;以、為焦點,離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
(1)當時,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,直線經過橢圓的右焦點,與拋物線交于、,如果以線段為直徑作圓,試判斷點與圓的位置關系,并說明理由;
(3)是否存在實數(shù),使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù),若存在,求出這樣的實數(shù);若不存在,請說明理由.
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已知兩點及,點在以、為焦點的橢圓上,且、、構成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖7,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點是直線上的兩點,且,. 求四邊形面積的最大值.
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(本小題13分)在平面直角坐標系中,是拋物線的焦點,是拋物線上位于第一象限內的任意一點,過三點的圓的圓心為,點到拋物線的準線的距離為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)是否存在點,使得直線與拋物線相切于點?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)己知、、是橢圓:()上的三點,其中點的坐標為,過橢圓的中心,且,。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點的直線(斜率存在時)與橢圓交于兩點,,設為橢圓與 軸負半軸的交點,且,求實數(shù)的取值范圍.
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