如圖,設拋物線()的準線與軸交于,焦點為;以、為焦點,離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
(1)當時,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,直線經過橢圓的右焦點,與拋物線交于、,如果以線段為直徑作圓,試判斷點與圓的位置關系,并說明理由;
(3)是否存在實數,使得的邊長是連續(xù)的自然數,若存在,求出這樣的實數;若不存在,請說明理由.
(1)(2)即點可在圓內,圓上或圓外
(3)時,能使的邊長是連續(xù)的自然數
解析解:∵的右焦點 ∴橢圓的半焦距,又,
∴橢圓的長半軸的長,短半軸的長. 橢圓方程為.
(1)當時,故橢圓方程為, 3分
(2)依題意設直線的方程為:,
聯(lián)立 得點的坐標為.
將代入得.
設、,由韋達定理得,.
又,.
∵,于是的值可能小于零,等于零,大于零。
即點可在圓內,圓上或圓外. ………………………………9分
(3)假設存在滿足條件的實數, 由解得:.
∴,,又.
即的邊長分別是、、 . ∴時,能使的邊長是連續(xù)的自然數。 14分
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關系
點評:解決該試題的關鍵是熟練的運用橢圓的簡單幾何性質來求解參數a,b,c的值,得到方程,并利用聯(lián)立方程組的思想求解弦長,拋物線的定義是解決的關鍵點。屬于基礎題。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線與橢圓有相同的焦點,點、分別是橢圓的右、右頂點,若橢圓經過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓的右焦點,以為直徑的圓記為,過點引圓的切線,求此切線的方程;
(3)設為直線上的點,是圓上的任意一點,是否存在定點,使得?若存在,求出定點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質:打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標,如圖.
(Ⅰ)拖動點,發(fā)現當時,,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設拋物線的頂點為,焦點為,構造直線交拋物線于不同兩點、,構造直線、分別交準線于、兩點,構造直線、.經觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結論.
(Ⅲ)為進一步研究該拋物線的性質,某同學進行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現“與不再平行”.是否可以適當更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應的正確命題;否則,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,設拋物線方程為,為直線上任意一點,過引拋物線的切線,切點分別為.
(1)求證:三點的橫坐標成等差數列;
(2)已知當點的坐標為時,.求此時拋物線的方程。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,已知橢圓=1(a>b>0),F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上的頂點,直線AF2交橢圓于另 一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若=2,·=,求橢圓的方程.
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