Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

n²+pn，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)于數(shù)列{c_n}有c_n=2a_n•b_n，請(qǐng)求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件根據(jù)a₄=b₄，求出p=

9

2

．由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）c_n=2a_n•b_n=（n+4）×2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

n²+pn，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄，
∴a₄=S₄-S₃=（

1

2

×16+4p）-（

1

2

×9+3p）=

7

2

+p，
b₄=T₄-T₃=15-7=8，
∵a₄=b₄，∴

7

2

+p=8，解得p=

9

2

．
∴S_n=

1

2

n²+

9

2

n，
∴a₁=S₁=5，a_n=S_n-S_n-1=[（

1

2

n²+

9

2

n）-（

1

2

（n-1）²+

9

2

（n-1）=n+4，（n≥2）
∵a₁=5=1+4
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+4．
∵T_n=2ⁿ-1，
∴b₁=T₁=1，T_n-1=2^n-1-1，（n≥2）
∴b_n=T_n-T_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，（n≥2）
∵b₁=1=2^1-1，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2^n-1．
（2）c_n=2a_n•b_n=（n+4）×2ⁿ，
則R_n=5×2+6×2²+7×2³+…+（n+4）×2ⁿ
2R_n=5×2²+6×2³+…+（n+3）×2ⁿ+（n+4）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減：-R_n=10+2²+2³+…+2ⁿ-（n+4）×2ⁿ⁺¹
=10+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+4）×2ⁿ⁺¹
=6-（n+3）×2ⁿ⁺¹，
∴R_n=（n+3）×2ⁿ⁺¹-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．