Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Q_n，且T_n=S_n+Q_n是否存在常數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，不等式λT_n≥T_n+1恒成立？若存在，求λ的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，得a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），由此能求出an=2n-1．由

bn+1

n+1

=

bn

n

，能求出b_n=n．
（2）由T_n=S_n+Q_n，得T_n=2•2n-1-1+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n+1)

2

，由此能求出λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．

解答： 解：（1）令n=1，得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），
整理，得a_n=2a_n-1，
∴an=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，
∴

bn+1

n+1

=

bn

n

，
∴{

bn

n

}是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，∴

bn

n

=1，
∴b_n=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Q_n，
∴Qn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∵T_n=S_n+Q_n，
∴T_n=2•2n-1-1+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n+1)

2

，
當(dāng)n=1時，λT₁≥T₂，得λ≥3，
當(dāng)n=2時，λT₂≥T₃，得λ≥

13

6

，
猜想：當(dāng)λ≥3時，3T_n≥T_n+1．
證明：3Tn-Tn+1=3[2n-1+

n(n+1)

2

]-[2n+1-1+

(n+1)(n+2)

2

]
=2ⁿ+n-3≥0．
綜上所述，λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查使得不等式成立的實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．