Question

已知兩條平行直線l₁：y=m和l₂：y=

3

m+1

（這里m＞0），且直線l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A、B，直線l₂與函數(shù)y=|log₈x|的圖象從左至右相交于C、D．若記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b，則當(dāng)m變化時，

b

a

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知中直線l₁：y=m與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A、B，可得：A，B兩點的橫坐標分別為：2^-m，2^m，由l₂：y=

3

m+1

與函數(shù)y=|log₈x|的圖象從左至右相交于C、D．可得：C，D兩點的橫坐標分別為：8-

3

m+1

，8

3

m+1

，進而a=|2^-m-8-

3

m+1

|，b=|2^m-8

3

m+1

|，結(jié)合指數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式，可得答案．

解答： 解：∵直線l₁：y=m與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A、B，
∴A，B兩點的橫坐標分別為：2^-m，2^m，
∵l₂：y=

3

m+1

與函數(shù)y=|log₈x|的圖象從左至右相交于C、D．
∴C，D兩點的橫坐標分別為：8-

3

m+1

，8

3

m+1

，
又∵線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b，
∴a=|2^-m-8-

3

m+1

|，b=|2^m-8

3

m+1

|
∴

b

a

=|

2m-8 3 m+1

2-m-8- 3 m+1

|=|

2m-2 9 m+1

2-m-2- 9 m+1

|=2m•2

9

m+1

=2m+

9

m+1

=2(m+1)+

9

m+1

-1≥22

(m+1)+ 9 m+1

-1=2⁵=32，
故答案：32．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)的運算性質(zhì)，基本不等式，綜合性強，難度比較大．