【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形， ，四邊形為直角梯形，且， ，點(diǎn)為的重心， 為中點(diǎn)， 平面， 為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：⑴連延長交于，推導(dǎo)出，又為中點(diǎn)，所以，又，所以，從而證明平面；

⑵為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值

解析：（Ⅰ）解：在中，連延長交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心

所以，且為中點(diǎn)，又，

所以，所以；

又為中點(diǎn)，所以，又，

所以，所以四點(diǎn)共面

又平面， 平面

所以平面

（Ⅱ）由題意， 平面，所以，平面平面，且交線為，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又四邊形為直角梯形， ， ，所以，所以平面

因?yàn)?/span>， ，所以平面平面，

又與分別是邊長為1與2的正三角形，

故以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則， ， ， ， ， ，

因?yàn)?/span>

所以， ，

設(shè)平面的法向量，則，取，

平面的法向量，

所以二面角的余弦值 ，

，又，

直線與所成角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為.

（1）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線，求直線截拋物線所得的弦長；

（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)，若分別表示直線與直線的斜率，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了了解2018年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對其2018年全年網(wǎng)購消費(fèi)金額(單位:千元)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所統(tǒng)計(jì)的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，,…,6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中的值;

（2）若將全年網(wǎng)購消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷.結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系?說明理由;

男

女

合計(jì)

網(wǎng)購迷

20

非網(wǎng)購迷

45

合計(jì)

下面的臨界值表僅供參考:

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

附： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上，這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭相購買的對象，過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30以上，其中不足50的周數(shù)大約5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周，根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量（百斤）與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每個蔬菜大鵬增加量是多少斤？

（2）因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應(yīng)對惡劣天氣對光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運(yùn)行，但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：

周光照量（單位：小時）

30<X<50

光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)

3

2

1

若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照儀周利潤為4000元；若某臺光照儀未運(yùn)行，則該臺光照儀周虧損500元，欲使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？

附：回歸方程系數(shù)公式： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在傾斜角為的直線上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.

（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；

(3)當(dāng)x∈R時，若A∩B＝，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上。

（Ⅰ）求拋物線C的方程。

（Ⅱ）過點(diǎn)做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，線段AB、EF的中點(diǎn)分別為M、N，求證：直線MN過定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，,是的平分線，且,則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

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