Question

19．已知曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）和定點(diǎn)P（4，1），過P的直線與曲線交于A，B，若線段AB上的點(diǎn)Q使得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出直線l的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，設(shè)A，B，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，t₀，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出t₁t₂，t₁+t₂．由$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立可知$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{t}_{1}-{t}_{0}}{{t}_{0}-{t}_{2}}$．用t₁，t₂表示出t₀，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)關(guān)系，消去直線的傾斜角α即為Q的軌跡方程．

解答 解：曲線的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，即x²+2y²=8．
設(shè)PA的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，
設(shè)A，B，Q對應(yīng)的參數(shù)t分別為t₁，t₂，t₀，
∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AQ}{QB}$成立，∴$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{t}_{1}-{t}_{0}}{{t}_{0}-{t}_{2}}$．
∴t₀=$\frac{2{t}_{1}{t}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}$．
將直線參數(shù)方程方程代入橢圓普通方程得：（4+tcosα）²+2（1+tsinα）²=8．
∴（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+8cosα）t+10=0，
∴t₁t₂=$\frac{10}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=-$\frac{4sinα+8cosα}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$．
∴t₀=-$\frac{20}{4sinα+8cosα}$=-$\frac{5}{sinα+2cosα}$．
設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），則
x=4+t₀cosα=4-$\frac{5cosα}{sinα+2cosα}$，
y=1+t₀sinα=1-$\frac{5sinα}{sinα+2cosα}$=-4+$\frac{10cosα}{sinα+2cosα}$．
∴動點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x+y=4．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．