Question

4．已知直線系y=2x+b、圓x²+y²=2直線線系中的直線與圓的交點(diǎn)A、B，試用b為參數(shù)表示AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為C（x，y），
將直線y=2x+b、代入圓x²+y²=2得x²+（2x+b）²=2，
即5x²+4bx+b²-2=0，
當(dāng)判別式△＞0時，
即16b²-20（b²-2）=-4b²+40＞0，
則b²＜10，
即-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$，
x₁+x₂=$-\frac{4b}{5}$，
則x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2b}{5}$，
y=2x+b=2×（-$\frac{2b}{5}$）+b=$\frac{5}$，
則AB的中點(diǎn)的軌跡方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2b}{5}}\\{y=\frac{5}}\end{array}\right.$，（-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查線段中點(diǎn)的軌跡方程，利用參數(shù)結(jié)合設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．