Question

20．在矩形ABCD中，已知$AB=\sqrt{3}，AD=2$，點E是BC的中點，點F在CD上，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 以BC，BA為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，使用坐標表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$，代入公式計算即可．

解答 解：分別以BC，BA為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖：
則A（0，$\sqrt{3}$），B（0，0），E（1，0），設(shè)F（2，m）
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（2，m$-\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}$=-$\sqrt{3}$（m-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴m=$\sqrt{3}$-1，
∴$\overrightarrow{BF}$=（2，$\sqrt{3}-1$）．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$=2-$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}-1$）=$\sqrt{3}$-1．
故答案為 $\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查了平面向量在集合中的應用，建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙忸}關(guān)鍵，屬于中檔題．