Question

8．己知函數(shù)h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間（用x₁，x₂表示，不需要說明理由）
（2）如果函數(shù)F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上為增函數(shù)．求b的取值范圍
（3）當(dāng)h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂時(shí)．求h（x₂）-x₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上為增函數(shù)．b＜1+$\sqrt{1+2m}$，確定2m＞-$\frac{1}{2}$，即可求b的取值范圍；
（3）當(dāng)h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂時(shí)．$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$＜0，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，設(shè)f（x₂）=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$，證明f（x₂）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1，利用h（x₂）-x₁=lnx₂-x₂，設(shè)φ（x₂）=lnx₂-x₂，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1，證明φ（x₂）在（$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞減，即可求h（x₂）-x₁的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（x₁，x₂），單調(diào)減區(qū)間是（0，x₁），（x₂，+∞）；
（2）函數(shù)F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x=lnx-$\frac{1}{2}$x-$\frac{m}{x}$，∴F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2x+2m}{2{x}^{2}}$
∵在（1，b）上為增函數(shù)，
∴b＜1+$\sqrt{1+2m}$，
∵函數(shù)h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，h′（x）=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，
∴△=1+4m＞0，∴2m＞-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{1+2m}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）h′（x）=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$=0的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，
∴x₁，x₂是x²-x-m=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-m
當(dāng)h（x₁）+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂時(shí)，lnx₁-x₁-$\frac{m}{{x}_{1}}$+ln3+$\frac{1}{9}$＜-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂，
∴$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$＜0．
顯然$\frac{1}{2}$＜x₂＜1
設(shè)f（x₂）=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+ln（1-x₂）+x₂+ln3-$\frac{8}{9}$，
∴f′（x₂）=$\frac{-{{x}_{2}}^{2}}{1-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₂）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，
∵f（$\frac{2}{3}$）=0，
∴f（x₂）＜0=f（$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{2}{3}$＜x₂＜1
∴h（x₂）-x₁=lnx₂-x₂，
設(shè)φ（x₂）=lnx₂-x₂，$\frac{2}{3}$＜x₂＜1
∵φ′（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-1＞0，
∴φ（x₂）在（$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞減
∴φ（x₂）∈（ln$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$，-1）
∴h（x₂）-x₁的取值范圍是（ln$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．