Question

15．一個母線長為6的圓錐（如圖）的底部圓周上有一昆蟲（M點），如果它沿著圓錐的側(cè)面爬行一周回到原來的位置的最短路程恰好為6，那么該圓錐的底面半徑是多少？圓錐的高是多少？請求出該圓錐的側(cè)面積與體積．（提示：平面上兩點間的線段最短）

Answer 1

分析 把圓錐側(cè)面展開成一個扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離，得出底面半徑、高，即可求出該圓錐的側(cè)面積與體積．

解答 解：把圓錐側(cè)面展開成一個扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離．
∵母線長為6，沿著圓錐的側(cè)面爬行一周回到原來的位置的最短路程恰好為6，
∴側(cè)面展開圖的圓心角是60°，
設(shè)底面半徑為r，則2πr=$\frac{π}{3}×6$，
解得：r=1，
∴圓錐的高是$\sqrt{36-1}$=$\sqrt{35}$，
∴圓錐的側(cè)面積為$π•{1}^{2}+\frac{1}{2}•2π•1•6$=7π，體積V=$\frac{1}{3}•π•{1}^{2}•\sqrt{35}$=$\frac{\sqrt{35}π}{3}$．

點評 本題考查了平面展開-最短路線問題，弧長公式，圓錐的側(cè)面積與體積，關(guān)鍵是能求出底面半徑、高．