求證下列等式成立
n
R=1
R2=
n(n+1)(2n+1)
6
考點:數(shù)列的求和
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,我們先判斷n=1時成立,然后假設(shè)當n=k時成立,只要能證明出當n=k+1時,立即可得到所有的正整數(shù)n都成立
解答: 證明:∵
n
R=1
R2=
n(n+1)(2n+1)
6
,
即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

(1)當n=1時,左邊=1,右邊=
(1+1)×(2+1)
6
,即原式成立,
(2)假設(shè)當n=k時,原式成立,即12+22+32+…+k2=
k(k+1)(2k+1)
6

當n=k+1時,12+22+32+…+(k+1)2=
k(k+1)(2k+1)
6
+(k+1)2=
(k+1)(k+2)(2k+3)
6
,即原式成立,
根據(jù)(1)和(2)可知等式對任意正整數(shù)n都成立,
∴12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

n
R=1
R2=
n(n+1)(2n+1)
6
點評:本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的步驟:①證明n=1時A式成立②然后假設(shè)當n=k時,A式成立③證明當n=k+1時,A式也成立④下緒論:A式對所有的正整數(shù)n都成立.
練習(xí)冊系列答案
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已知全集U=R,集合A={x|x<-2,或x>0},B={x|
1
x
<1},則(∁UA)∩B=( 。
A、(-2,0)B、[-2,0)
C、∅D、(-2,1)

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如圖,菱形ABCD與矩形BDEF所在平面互相垂直,∠BAD=
π
3

(Ⅰ)求證:FC∥平面AED;
(Ⅱ)若BF=k•BD,當二面角A-EF-C為直二面角時,求k的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值.

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已知:拋物線y=ax2+(1-a)x+3(a≠0)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,求a的范圍.

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構(gòu)造如圖所示的數(shù)表,規(guī)則如下:先排兩個l作為第一層,然后在每一層的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)和的a倍得下一層,其中a∈(0,
1
3
),設(shè)第n層中有an個數(shù),這an個數(shù)的和為Sn(n∈N*).
(I)求an;
(Ⅱ)證明:
n
2
a1-1
S1
+
a2-1
S2
+…+
an-1
Sn
<(
2
a+1
)n
-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:2<x≤3.
(1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

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有一小型自來水廠,蓄水池中已有水450噸,水廠每小時可向蓄水池注水80噸,同時蓄水池向居民小區(qū)供水,x小時內(nèi)供水總量為80
20x
噸.現(xiàn)在開始向池中注水并同時向居民小區(qū)供水,問:
(1)多少小時后蓄水池中的水量最少?
(2)如果蓄水池中存水量少于150噸時,就會出現(xiàn)供水緊張,那么有幾個小時供水緊張?

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如果方程x2-(m+3)x+m+6=0的兩個實數(shù)根都在(2,4)之間,求m的取值范圍.

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(1)求證:“如果直線l過點(3,0),那么
OA
OB
=3”是真命題.
(2)寫出(1)中命題的逆命題(直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點為大前提),判斷它是真命題還是假命題,如果是真命題,寫出證明過程;如果是假命題,則只需要舉出一個反例說明即可.

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