Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，點P是圓弧CD上的一動點（不與C，D重合），點Q是圓弧AB的中點，且點P，Q在平面ABCD的兩側．

（1）證明：平面PAD⊥平面PBC；

（2）設點P在平面ABQ上的射影為點O，點E，F分別是△PQB和△POA的重心，當三棱錐P﹣ABC體積最大時，回答下列問題．

（i）證明：EF∥平面PAQ；

（ii）求平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（i）見解析（ii）．

【解析】

（1）證明AD⊥PC， PC⊥PD，得到PC⊥平面PAD，得到證明.

（2）連接PE并延長交BQ于點M，連接PF并延長交OA于點N，連接MN，證明EF∥AQ得到答案；以O為坐標原點，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，計算夾角得到答案.

（1）證明：因為ABCD是軸截面，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC，

又點P是圓弧CD上的一動點（不與C，D重合），且CD為直徑，所以PC⊥PD，

又AD∩PD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD，所以PC⊥平面PAD，

PC平面PBC，故平面PAD⊥平面PBC；

（2）當三棱錐P﹣ABC體積最大時，點P為圓弧CD的中點，

所以點O為圓弧AB的中點，所以四邊形AQBO為正方形，且OP⊥AB，

（i）證明：連接PE并延長交BQ于點M，連接PF并延長交OA于點N，連接MN，

則MN∥AQ，因為E，F分別為三角形的重心，所以EF∥MN，

所以EF∥AQ，又AQ平面PAQ，EF平面PAQ，所以EF∥平面PAQ；

（ii）以O為坐標原點，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則P（0，0，2），A（，0，0），B（0，，0），

，，

設平面PAB的法向量\，則，

可取，又平面PCD的法向量，

所以cos，

所以平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為．