Question

18．已知雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)雙曲線的系數(shù)滿足c²=a²+b²；雙曲線的漸近線的方程與系數(shù)的系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b，寫出雙曲線方程．

解答 解：橢圓橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{7}$）
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）
∵橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)
∴a²+b²=7①
∵一條漸近線方程是y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②
解①②組成的方程組得a=2，b=$\sqrt{3}$
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²；雙曲線中系數(shù)的關(guān)系是：c²=a²+b²