Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=S_n+2，得S_n+1=2a_n+1-2，S_n+2=2a_n+2-2，兩式相減即得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，計算即可；
（2）由（1）得b_n=n×2ⁿ，計算出T_n、2T_n，兩式相減即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+2，n∈N^*，∴S_n=a_n+1-2，
即S_n+1=2a_n+1-2，∴S_n+2=2a_n+2-2，
兩式相減，得a_n+2=2a_n+2-2a_n+1，即a_n+2=2a_n+1，
又∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=2+2=4，
即數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以a_n=2ⁿ；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，則b_n=n×2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：T_n=-1×2-1×2²-1×2³-…-1×2^n-1-1×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）
=n×2ⁿ⁺¹-$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2+（n-1）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項公式，前n項和，錯位相減法，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．