Question

【題目】（1）證明：當(dāng)時(shí)， ；

（2）若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證： .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的定義域可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可證得不等式的結(jié)論；

(2)原問題轉(zhuǎn)化為 ，構(gòu)造函數(shù) ，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)可得正實(shí)數(shù)的取值范圍是；

(3)將不等式進(jìn)行恒等變形，結(jié)合(2)的結(jié)論證得不等式成立即可.

試題解析：

（1）令函數(shù)，定義域是，

由 ，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)， ，即.

（2）因?yàn)?/span>， ，故不等式可化為（*），

問題轉(zhuǎn)化為（*）式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立，構(gòu)造函數(shù) ，

則 ，

①當(dāng)時(shí)， ， 即在上單調(diào)遞增，

所以，即不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立.

②當(dāng)時(shí)， ，因此， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以 ， ， ，令，

由（1）可知 ，不合題意.

綜上可得，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）要證，即證 ，

由（2）的結(jié)論令，有對(duì)恒成立，取可得不等式成立，綜上，不等式成立.