Question

17．已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)的A，B，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）△AFB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂，由題意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0代入即可求得b的值，直線l的方程為y=kx+4，直線l過(guò)定點(diǎn)M（0，4）；
（2）由（1），弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，由點(diǎn)到直線的距離公式求得F（0，1）到直線l：kx-y+4=0的距離為d，根據(jù)三角形的面積公式${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=6\sqrt{{k^2}+4}$，可得當(dāng)k=0時(shí)，S_△AFB有最小值，且最小值為12．

解答 解：（1）證明：直線l的斜率顯然存在，又直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+b（b?0），并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，整理得x²-4kx-4b=0①
∴x₁+x₂=4k，②x₁x₂=-4b③…（2分）
若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即④…（4分）
將③代入④，得$-4b+\frac{1}{16}{（-4b）^2}=0$，
解得b=4或b=0（舍去），
∴x₁x₂=-16，⑤
∴直線l的方程為y=kx+4，顯然，直線l過(guò)定點(diǎn)M（0，4）…（6分）
（2）由弦長(zhǎng)公式得$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
把②⑤代入上式，得 $|AB|=4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{{k^2}+4}$             …（8分）
設(shè)點(diǎn)F（0，1）到直線l：kx-y+4=0的距離為d，則$d=\frac{|0-1+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{3}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=6\sqrt{{k^2}+4}$，…（10分）
∴當(dāng)k=0時(shí)，S_△AFB有最小值，是12，
∴△AFB的面積存在最小值，最小值是12．                    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．