Question

7．設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且f（x）在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，f（-2）=0，則xf（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式xf（x）＞0等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
∵f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，f（-2）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，f（2）=0，
但當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0等價(jià)為f（x）＞f（2），即x＞2，
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)為f（x）＜f（-2），即x＜-2，
綜上x＞2或x＜-2，
故不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．