Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求f（x）的極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)性，從而可求f（x）的極大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，
∴f′（x）=e^x（x+a+1）-2x-b，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為2x+y-1=0，
∴f（0）=1，f′（0）=-2
∴a=1，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=（x+2）（e^x-2），
令f′（x）=0，得x=ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（-2，ln2）時(shí)，f′（x）＜0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-2，ln2）
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4-e^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．