Question

函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M，且點(diǎn)M在直線y=mx+n上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用log_a1=0可得函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M（2，1），代入直線y=mx+n可得n，m滿足的關(guān)系式．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：令x=2，則y=log_a（2-1）+1=1，
∴函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M（2，1），
把點(diǎn)M（2，1）代入直線y=mx+n，可得1=2m+n．
∵mn＞0，∴

1

m

+

1

n

=（2m+n）(

1

m

+

1

n

)=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m • 2m n

=3+2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)n=

2

m=

2

-1時(shí)取等號．
∴

1

m

+

1

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．