Question

10．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若$|AB|=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用體積設(shè)出橢圓的方程，求出橢圓的幾何量即可．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程的方程組，設(shè)出AB坐標，利用韋達定理結(jié)合弦長公式求直線的斜率，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，因為c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2，則b=$\sqrt{3}$．
所以橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為：y=kx+1，
則由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，
又$|AB|=\sqrt{1-{k^2}}|x-{x_1}|=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，
得16k⁴-24k²-7=0，
解得${k^2}=\frac{1}{4}$，即$k=±\frac{1}{2}$．
所以直線l的方程為$y=±\frac{1}{2}x+1$，即x-2y+2=0或x+2y-2=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．