Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，其中a＞0且a≠1．
（1）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實(shí)數(shù)m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）-4的值恒為負(fù)，只要f（2）-4≤0，即 $\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，由此求得a的范圍；
（2）由題意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，要使f（x）-4的值恒為負(fù)，
只要f（2）-4≤0，即 $\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4≤0，即$\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，
解得 2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$，且a≠1，即a的范圍[2-$\sqrt{3}$，1）、（1，2+$\sqrt{3}$]．
（2）由于函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），
故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得 1＜m＜$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．