Question

19．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{a}=\sqrt{3}$，c=4，則△ABC的面積為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知結(jié)合正弦定理得sin2A=sin2B，由A、B是三角形的內(nèi)角，可得A=B或A+B=90°，由 $\frac{a}=\sqrt{3}$，得A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°，設(shè)b=$\sqrt{3}$x，a=x，可得c=2x=4，從而解得a，b的值，利用直角三角形面積公式即可的季節(jié)．

解答 解：∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{a}=\sqrt{3}$，
∴acosA=bcosB，結(jié)合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵A、B是三角形的內(nèi)角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，可得A=B或A+B=90°
∵$\frac{a}=\sqrt{3}$，得a、b的長度不相等，
∴A=B不成立，只有A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°
因此，△ABC是直角三角形
設(shè)b=$\sqrt{3}$x，a=x，可得c=2x=4，
∴x=2，于是b=2$\sqrt{3}$且a=2，
由此可得△ABC的面積是S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．