Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k﹚﹙1+k﹚}﹙k∈Z﹚滿足f﹙2﹚＜f﹙3﹚．
（1）求整數(shù)k的值，并寫出相應的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2ax+1，x∈[-2，1]，求g（x）的最小值h（a）；
（3）求h（a）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，即可求出k的值，從而求f（x）的解析式；
（2）討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即當a＞1時，當-2≤a≤1，當a＜-2時，通過單調(diào)性即可得到最小值h（a）；
（3）分別求出各段的值域，再比較最大值，即可得到．

解答： 解：（1）由于冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k﹚﹙1+k﹚}﹙k∈Z﹚滿足f﹙2﹚＜f﹙3﹚，
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即有（2-k）（1+k）＞0，
解得-1＜k＜2，k為整數(shù)，則k=0，1，
則f（x）=x²；
（2）g（x）=f（x）-2ax+1=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，x∈[-2，1]，
當a＞1時，[-2，1]在對稱軸的左邊，則為減區(qū)間，則最小值為f（1）=2-2a；
當-2≤a≤1，最小值為f（a）=1-a²；
當a＜-2時，[-2，1]在對稱軸的右邊，則為增區(qū)間，則最小值為f（-2）=5+4a．
即有h（a）=

5+4a，a＜-2 1-a2，-2≤a≤1 2-2a，a＞1

；
（3）當a＞1時，h（a）＜0；
當-2≤a≤1，-3≤h（a）≤1，
當a＜-2時，h（a）＜-3．
則當a=0時，h（a）最大且為1．

點評：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題和易錯題．