Question

定義函數(shù)y=f（x），x∈D（D為定義域）圖象上的點到坐標原點的距離為函數(shù)的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，則此最大值稱之為函數(shù)y=f（x），x∈D的長距；若模存在最小值，則此最小值稱之為函數(shù)y=f（x），x∈D的短距．
（1）分別判斷函數(shù)f₁（x）=

1

x

與f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在長距與短距，若存在，請求出；
（2）對于任意x∈[1，2]是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，若存在，請求出a的取值范圍；不存在，則說明理由？

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可以由基本不等式及長距和短距的定義求出；
（2）將a進行分類討論通過解不等式求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)u（x）=

x2+ 1 x2

≥

2

（當且僅當x=±1取得等號），f₁（x）短距為

2

，長距不存在．
設(shè)v（x）=

x2+(-x2-4x+5)

=

5-4x

，x∈[-5，1]，
v（x）_min=v（1）=1v（x）_max=v（-5）=5，
f₂（x）短距為1，長距為5．
（2）設(shè)h（x）=

x2+2x|x-a|

，x∈[1，2]，
函數(shù)f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，即x²+2x|x-a|≥4對于x∈[1，2]始終成立：
當a＞2時：a≥

1

2

（x+

4

x

）對于x∈[1，2]始終成立，
∴a≥

5

2

，
當1≤a≤2時：取x=a即可知顯然不成立
當a＜1時：a≤

1

2

（3x-

4

x

）對于x∈[1，2]始終成立 
∴a≤-

1

2

綜上所述：存在實數(shù)a∈（-∞，-

1

2

]∪[

5

2

，+∞），使得函數(shù)f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2．

點評：本題新定義了長距和短距，屬于新定義問題，用到了基本不等式及函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．