Question

角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且角B滿足sinB+cos（B+

π

6

）=

3

2

．
（1）求角B的值；
（2）若sinA+sinC＞k恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）通過兩角和公式對(duì)已知等式整理求得sin（B+

π

3

）的值，進(jìn)而根據(jù)B的范圍求得B+

π

3

，進(jìn)而求得B．
（2）利用（1）中B的值，表示出C，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而利用A的范圍求得sinA+sinC的范圍，最后求得k．

解答： 解：（1）sinB+cos（B+

π

6

）=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+

π

3

）=

3

2

．
∵0＜B＜π，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4π

3

，
∴B+

π

3

=

2π

3

，B=

π

3

．
（2）∵A+B+C=π，
∴C=

2π

3

-A∈（0，

2π

3

），
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴

3

sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，

3

]，
∴要使sinA+sinC＞k恒成立，則k≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．解題的過程中要特別關(guān)注三角形中角的隱含范圍，例如本題中C的范圍．