Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）若a=2，求f（x）的最小值；
（3）對于函數(shù)y=m（x），在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]，如果存在x₀（a＜x₀＜b），滿足m（x₀）=

m(b)-m(a)

b-a

，則稱函數(shù)m（x）是區(qū)間[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個“均值點”．如函數(shù)y=x²是[-1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點．現(xiàn)有函數(shù)g（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，從而求出a的值即可；
（2）利用先求出每段函數(shù)上最小值，在比較，求得問題的答案；
（3）利用題目所給的方法進行解答即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，
∴a=0
（2）當a=2時，f（x）=f（x）=x²+|x-2|+1=

x2+x-1，x≥2 x2-x+3，x＜2

  
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=5，
在（-∞，2）上的最小值為f(

1

2

)=

11

4

，
因為

11

4

＜5，所以函數(shù)f（x）在f（x）的最小值為

11

4

（3）因為函數(shù)g（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，
所以存在x₀∈（-1，1），使

g(1)-g(-1)

1-(-1)

=g(x0)，
而

g(1)-g(-1)

1-(-1)

=m，存在x₀∈（-1，1），使得g（x₀）=m，
亦即關(guān)于x方程-x²+mx+1=m在（-1，1）有解
由-x²+mx+1-m在=0解得x₁=1，x₂=m-1，所以必有-＜m-1＜1
即0＜m＜2． 
所以m取值范圍是（0，2）

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用，閱讀題目的能力，計算的能力，屬于綜合題．