Question

分設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．
（1）證明當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；
（2）證明f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（2ax-x²）•f（ax²-2x+4）＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值法先求出f（0）的值，然后結(jié)合x＜0時(shí)f（x）的范圍；
（2）利用定義法，結(jié)合第一問的結(jié)果利用作商法比較f（x₁）與f（x₂）的大�。�
（3）結(jié)合已知先將原式左邊合并，將式子變成兩個(gè)函數(shù)值的大小比較，再利用單調(diào)性列出不等式．

解答： 解：（1）令m=0，n=-1，則f（0）f（-1）=f（-1），
∵f（-1）＞0，∴f（0）=1，
再令m=x＞0，n=-x則f（x）f（-x）=f（0）=1，∴f(x)=

1

f(-x)

，
∵-x＜0，∴f(-x)＞1∴0＜

1

f(-x)

＜1，
即當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（2）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）f（x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，即0＜

f(x2)

f(x1)

＜1，∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）是R上的減函數(shù)，
（3）∵f（2ax-x²）•f（ax²-2x+4）＜1，∴f（2ax-x²+ax²-2x+4）＜f（0），
即f[（a-1）x²+2（a-1）x+4]＜f（0），
∵f（x）是R上的減函數(shù)，∴（a-1）x²+2（a-1）x+4＞0要恒成立．
當(dāng)a=1時(shí)，不等式4＞0恒成立．
當(dāng)a＞1時(shí)，則△=[2（a-1）]²-4（a-1）×4＜0解得 1＜x＜5，∴1≤x＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，一般利用定義推證，強(qiáng)調(diào)“構(gòu)造”的思路．