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已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，函數f(x)=
m
.
n
．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(
2π
3
-x)的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足acosC+
1
2
c=b，求f（2B）的取值范圍．
分析：（I）利用向量的數量積公式求出f（x），利用二倍角公式及兩角和、差公式化簡f（x）；利用誘導公式將cos(
2π
3
-x)用sin(
x
2
+
x
6
)表示，求出值．
（II）利用三角形的余弦定理將已知等式中的余弦用邊表示，再次利用余弦定理求出角A，利用三角形的內角和為π及B，C都是銳角求出B的范圍，求出f（2B）的范圍．
解答：解：f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin(
x
2
+
x
6
)+
1
2

（Ⅰ）若f（x）=1，可得sin(
x
2
+
x
6
)=
1
2
，
則cos(
2π
3
-x)=2cos2(
π
3
-
x
2
)-1=2sin2(
x
2
+
π
6
)-1=-  
1
2

（Ⅱ）由acosC+
1
2
c=b可得a
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b即b2+c2-a2=bc
所以cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
得A=
π
3
，B+C=
2π
3

又B，C均為銳角∴B∈(
π
6
，
π
2
)
∴sin(B+
π
6
)∈(
3
2
，1]
∴f(2B)=sin(B+
π
6
)+
1
2
的取值范圍是(
3
+1
2
，
3
2
]
點評：本題考查向量的數量積公式、三角形的二倍角公式、和，差角公式、誘導公式；三角形的余弦定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角B的取值集合為M，當x∈M時，求函數f（x）=
m
•
n
的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函數f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C為銳角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的單調增區(qū)間及在[-
π
6
，
π
4
]內的值域；
（II）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[0， 
π
2
]時，函數g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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