Question

5．函數(shù)y=sinx和y=cosx在x=$\frac{π}{4}$處的兩條切線與x軸圍成封閉區(qū)域D，點（x，y）∈D，則x+2y的最小值為$\frac{π}{4}$-1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和方程，作出兩切線，可得三角形的區(qū)域，作出直線l₀：x+2y=0，平移l₀，即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)y=sinx的導數(shù)為y′=cosx，
可得在x=$\frac{π}{4}$處的切線斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，切點為（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
即為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}π}{8}$；
函數(shù)y=cosx的導數(shù)為y′=-sinx，
可得在x=$\frac{π}{4}$處的切線方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
即為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}π}{8}$．
作出兩切線，可得區(qū)域D，作出直線l₀：x+2y=0，
平移l₀，可得通過點A（$\frac{π}{4}$-1，0），x+2y取得最小值，且為$\frac{π}{4}$-1．
故答案為：$\frac{π}{4}$-1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，以及目標函數(shù)的最值的求法：平移法，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．