Question

如圖，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點，點是長軸的一個頂點， 過橢圓中心，且，，

（1）求橢圓的方程；   

（2）如果橢圓上兩點、使的平分線垂直，則是否存在實數(shù)使？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系

則A（2，0），設所求橢圓的方程為： =1(0<b<2),

由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|,由·=0得AC⊥BC，

∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，

∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐標為（1，1），∵C點在橢圓上

∴=1,∴b²=,所求的橢圓方程為=1             ……………5分

（2）由于∠PCQ的平分線垂直OA（即垂直于x軸），不妨設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，直線PC的方程為：y=k(x-1)+1,直線QC的方程為y=-k(x-1)+1,

由  得：(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0（*）   ……………8分

∵點C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程（*）的一個根，則其另一根為,設P（x_P,y_P）,?Q(x_Q,y_Q),x_P=,   同理x_Q=,

k_PQ=…10分

而由對稱性知B(-1,-1),又A（2，0）      ∴k_AB= 

∴k_PQ=k_AB，∴與共線，且≠0,即存在實數(shù)λ，使=λ.

【解析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的標準方程可知應以O為原點，OA所在的直線為x軸建立直角坐標系,然后由條件可知△ABC是直角三角形，進可確定△AOC是等腰直角三角形,這樣易得C（1，1），代入橢圓標準方程問題可解.(2)涉及直線與橢圓的位置關系，然后兩方程聯(lián)立，利用韋達定理，解決交點坐標的問題,然后再借助向量共線的條件進行證明即可.