Question

15．已知直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）求直線l與圓C的交點的極坐標；
（2）若P為圓C上的動點，求P到直線l的距離d的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把極坐標方程化為直角坐標方程，聯(lián)立直角坐標方程解出即可得出．
（II）方法一：設(shè)P（2cosθ，2+2sinθ），利用點到直線的距離公式可得d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）+1|$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．
方法2：求出圓心C（0，2）到直線l的距離d，即可得出圓上的點到直線的距離的最大值為d+r．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，化為：y-x=4．
圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為x²+（y-2）²=4．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的極坐標分別為（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），（4，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅱ）方法一：設(shè)P（2cosθ，2+2sinθ），
則d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）+1|$，
當cos（θ+$\frac{π}{4}$）=1時，d取得最大值2+$\sqrt{2}$，
方法2：圓心C（0，2）到直線l的距離d=$\frac{|0-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，圓的半徑為2，
所以到直線l的距離d的最大值為2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程分別化為直角坐標方程、直線與圓的交點、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．