【題目】已知橢圓以,為左右焦點(diǎn),且與直線:相切于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若直線:與橢圓交于兩點(diǎn),且交于點(diǎn)(異于點(diǎn)),求證:線段長,,成等比數(shù)列.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1) 設(shè)橢圓方程為 ,聯(lián)立橢圓和直線的方程可得,由相切條件可得,從而得到橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2) 聯(lián)立直線與的方程解得點(diǎn)為,由弦長公式,聯(lián)立橢圓與直線的方程,消去得,可得,
,從而可證線段長,,成等比數(shù)列.
(1)由題意,設(shè)橢圓方程為 ,聯(lián)立橢圓和直線的方程
消去得
所以 ,
化簡得,由知,,所以橢圓方程為.
將代回原方程組,解得切點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(2)聯(lián)立直線與的方程解得點(diǎn)為,
又因?yàn)?/span>,
由弦長公式 得,所以.
設(shè),,聯(lián)立橢圓與直線的方程,
,消去得,
,得
則,
又因?yàn)?/span> ,
,
所以
所以線段長,,成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到曲線的最小距離為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元.今年,工廠第一次投入100萬元(科技成本),并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元(科技成本),預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為(k>0,k為常數(shù),且n≥0),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為萬元.
(Ⅰ)求k的值,并求出的表達(dá)式;
(Ⅱ)若今年是第1年,問第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年某市政府為了有效改善市區(qū)道路交通擁堵狀況出臺了一系列的改善措施.其中市區(qū)公交站點(diǎn)重新布局和建設(shè)作為重點(diǎn)項(xiàng)目.市政府相關(guān)部門根據(jù)交通擁堵情況制定了“市區(qū)公交站點(diǎn)重新布局方案”,現(xiàn)準(zhǔn)備對該“方案”進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否啟用該“方案”,調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對該“方案”進(jìn)行評分,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.相關(guān)規(guī)則為:①調(diào)查對象為本市市民,被調(diào)查者各自獨(dú)立評分;②采用百分制評分,內(nèi)認(rèn)定為滿意,不低于分認(rèn)定為非常滿意;③市民對公交站點(diǎn)布局的滿意率不低于即可啟用該“方案”;④用樣本的頻率代替概率.
(1)從該市市民中隨機(jī)抽取人,求恰有人非常滿意該“方案”的概率;并根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識判斷該市是否啟用該“方案”,說明理由;
(2)已知在評分低于分的被調(diào)查者中,老年人占,現(xiàn)從評分低于分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取人以便了解不滿意的原因,并從中抽取人擔(dān)任群眾監(jiān)督員,記為群眾監(jiān)督員中老年人的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電商的快速發(fā)展,快遞業(yè)突飛猛進(jìn),到目前,中國擁有世界上最大的快遞市場.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過的包裹收費(fèi)10元;重量超過的包裹,除收費(fèi)10元之外,每超過(不足,按計(jì)算)需再收5元.
該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下:
包裹重量(單位:) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
包裹件數(shù) | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司對近60天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表:
包裹件數(shù)范圍 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
包裹件數(shù)(近似處理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天數(shù) | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.
(1)計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率;
(2)①估計(jì)該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;
②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺有工作人員3人,每人每件攬件不超過150件,日工資100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望,若你是公司老總,是否進(jìn)行裁減工作人員1人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)若x,,求,的值;
(2)若x,,試判斷的奇偶性;
(3)若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若是的導(dǎo)數(shù),若方程方有實(shí)數(shù)解,則稱.
點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知:任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn),又有對稱中心,且拐點(diǎn)就是對稱中心.設(shè),數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校開展一次“五四”知識競賽活動,共有三個問題,其中第1、2題滿分都是15分,第3題滿分是20分.每個問題或者得滿分,或者得0分.活動結(jié)果顯示,每個參賽選手至少答對一道題,有6名選手只答對其中一道題,有12名選手只答對其中兩道題.答對第1題的人數(shù)與答對第2題的人數(shù)之和為26,答對第1的人數(shù)與答對第3題的人數(shù)之和為24,答對第2題的人數(shù)與答對第3題的人數(shù)之和為22.則參賽選手中三道題全答對的人數(shù)是____;所有參賽選手的平均分是____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的3月21日被定為“世界睡眠日”,擁有良好睡眠對人的健康至關(guān)重要,一夜好眠成為很多現(xiàn)代人的訴求.某市健康研究機(jī)構(gòu)于2018年3月14日到3月20日持續(xù)一周,通過網(wǎng)絡(luò)調(diào)查該市20歲至60歲市民的日平均睡眠時間(單位:小時),共有500人參加調(diào)查,其中年齡在區(qū)間的有200人,現(xiàn)將調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)整理后,得到如下頻數(shù)分布表:
(1)根據(jù)上表,在給定坐標(biāo)系中畫出這500名市民日平均睡眠時間的頻率分布直方圖;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市20歲至60歲市民的日平均睡眠時間與年齡有關(guān);
,其中.
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