Question

【題目】已知.

（1）若x，，求，的值；

（2）若x，，試判斷的奇偶性；

（3）若函數在其定義域上是增函數，，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（1）＝0，f（1）＝0（2）見解析（3）{x|2＜x≤4}

【解析】

（1）利用已知條件，通過賦值法即可f（1），f（﹣1）的值；

（2）通過（1）f（﹣1）＝0，利用函數的奇偶性定義，判斷y＝f（x）的奇偶性；

（3）利用函數f（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數，結合f（2）＝1，f（x）+f（x﹣2）≤3，得到不等式組，即可求x的取值范圍．

解；（1）令x＝y＝1，則f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0；

又令x＝y＝﹣1，則f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1），所以f（﹣1）＝0；

（2）令y＝﹣1，則f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），由（1）知f（﹣1）＝0

所以f（﹣x）＝f（x），即函數f（x）為偶函數，

（3）因為f（4）＝f（2）+f（2）＝1+1＝2

所以f（8）＝f（2）+f（4）＝1+2＝3

因為f（x）+f（x﹣2）≤3

所以f[x（x﹣2）]≤f（8）

因為f（x）在（0，+∞）上是增函數

所以，即

所以{x|2＜x≤4}，所以不等式的解集為{x|2＜x≤4}