Question

設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內(nèi)的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)bn=2nf(n)，
    （�。┣髷�(shù)列{b_n}的前n項的和S_n；
    （ⅱ）請?zhí)骄渴欠翊嬖谡�整�?shù)n，使

Sn-bn

Sn+1-bn+1

≤

1

5

成立？若存在，求出所有正整數(shù)n；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,簡單線性規(guī)劃

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，可求得x=1，或x=2，則D_n內(nèi)的整點在直線x=1和x=2上，聯(lián)立可求得整點縱坐標，進而可得整點個數(shù)；
（Ⅱ）（�。├�用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n；
（ⅱ）

Sn-bn

Sn+1-bn+1

≤

1

5

成立，可得

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

≤

1

5

得（8-3n）2ⁿ≥8，從而可求所有正整數(shù)n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知易于得到f（1）=3，f（2）=6…（2分）
當x=1，y=2n，可取格點2n個；
當x=2，y=n，可取格點n個，
∴f（n）=3n…（4分）
（Ⅱ）（�。┯深}意知：b_n=3n•2ⁿ，
S_n=3•2¹+6•2²+…+3n•2ⁿ，…①
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹，…②
∴①-②得-S_n=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹=3（2ⁿ⁺¹-2）-3n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（3n-3）•2ⁿ⁺¹…（8分）
（ⅱ）由題意可得Sn-bn=6+(3n-6)2n，
∴Sn+1-bn+1=6+(6n-6)2n，
∴

Sn-bn

Sn+1-bn+1

=

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

，
令

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

≤

1

5

得（8-3n）2ⁿ≥8，
設(shè)Tn=(8-3n)2n，則當n=1，T_n=10≥8，當n=2，T_n=8≥8；
當n≥3，（8-3n）＜0，T_n＜0，T_n≥8不成立．
綜上所述，符合條件的正整數(shù)n存在，且只能等于1或者2…（12分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查線性規(guī)劃的基本知識，考查錯位相減法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．