Question

已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₂，a₄是方程x²-14x+40=0的根．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n+2ⁿ}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₂=4，a₄=10．由此能求出a_n=3n-2．
（2）由an+2n=（3n-2）+2ⁿ，利用分組求和法能求出數(shù)列{an+2n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵方程x²-14x+40=0的兩根是4，10，
由題意得a₂=4，a₄=10． …（2分）
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a₄-a₂=2d，故d=3．
從而a₁=1． …（4分）
∴a_n=3n-2．…（6分）
（2）由（1）知an+2n=（3n-2）+2ⁿ，
∴數(shù)列{an+2n}的前n項(xiàng)和：
Tn=(1+2)+(4+22)+(7+23)+…+[(3n-2)+2n]
=[1+4+7+…+（3n-2）]+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(3n-1)

2

+

2-2n+1

1-2

=

3n2-n

2

-2+2n+1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．