Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AA₁的中點(diǎn)，AB=BC=1，AA₁=2．
（Ⅰ）求直線(xiàn)A₁C與平面ABCD所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面EBD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于O，由已知條件得∠A₁CA為直線(xiàn)A₁C與平面ABCD所成角，由此能求出直線(xiàn)A₁C與平面ABCD所成角的余弦值．
（Ⅱ）連結(jié)OE，在△ACA₁中，E為AA₁中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，所以A₁C∥OE，由此能證明A₁C∥平面EBD．

解答： （Ⅰ）解：連結(jié)AC，交BD于O，
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD，
∴∠A₁CA為直線(xiàn)A₁C與平面ABCD所成角，
∵AB=BC=1，∴AC=

2

，
在Rt△ACA₁中，AA1=2，A1C=

6

，
∴cos∠A1CA=

AC

A1C

=

3

3

，
∴直線(xiàn)A₁C與平面ABCD所成角的余弦值為

3

3

．
（Ⅱ）證明：連結(jié)OE，在△ACA₁中，E為AA₁中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，
∴A₁C∥OE，
∵A₁C?平面EBD，OE?平面EBD，
∴A₁C∥平面EBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的求法，考查直線(xiàn)與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．