Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如.
 （1）求的值；
（2）若在區(qū)間上存在x，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求函數(shù)的值域.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

解析試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/4/bzdxs3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以 ------2分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b2/1/qbgid.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,          -------------------3分
則.
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，顯然有,
所以在區(qū)間上遞增,                -------------------4分
即可得在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3b/0/x4py7.png" style="vertical-align:middle;" />,
在區(qū)間上存在x，使得成立，所以. ---------------6分
（3）由于的表達(dá)式關(guān)于x與對(duì)稱，且x>0，不妨設(shè)x³1.
當(dāng)x=1時(shí)，=1，則;           ----------------------7分
當(dāng)x>1時(shí)，設(shè)x= n+，nÎN^*，0£<1.
則[x]= n，，所以.   -----------------8分
，
在[1，+¥)上是增函數(shù)，又，
,
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，                  … 10分
故時(shí)，的值域?yàn)?i>I₁∪I₂∪…∪I_n∪…
設(shè),
則.
,
\當(dāng)n³2時(shí)，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…
又b_n單調(diào)遞減，\ b₂> b₃>…> b_n>…
\[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…       ----------------------11分

\ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂=
綜上所述，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/8/1efyl2.png" style="vertical-align:middle;" />. ----------------------12分
考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域。
點(diǎn)評(píng)：我們要注意恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題的區(qū)別。恒成立問(wèn)題：通常采用變量分離法解決恒成立問(wèn)題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立；存在性問(wèn)題：思路1：存在使成立；思路2: 存在使成立。